Théorème de Bayes ou probabilité des causes

Le théorème de Bayes est l'un des piliers du calcul des probabilités . C'est une théorie avancée par Thomas Bayes (1702-1761) au XVIIIe siècle. Mais quel est le but des recherches de ce célèbre scientifique ? La probabilité exprime de manière aléatoire le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.

De nombreuses théories probabilistes ont été développées et régissent notre existence aujourd’hui. Lorsque nous allons chez le médecin, il nous prescrit le médicament le plus susceptible de s'avérer utile dans notre cas, tout comme les annonceurs consacrent leurs campagnes aux personnes les plus susceptibles d'acheter le produit dont ils souhaitent promouvoir ou aux touristes et aux voyageurs qui choisissent l'itinéraire où il y a le moins de files d'attente.

La loi des probabilités totales est parmi les plus connues, donc avant de parler de la Théorème de Bayes nous devrons consacrer quelques lignes à expliquer le premier. Pour essayer de comprendre, donnez simplement un exemple .

Quelle est la probabilité (P) qu'une personne choisie au hasard parmi la population active de ce pays soit sans emploi ?

Selon la théorie des probabilités, les données seraient exprimées comme suit :

• La probabilité que la personne soit une femme : P (M)
• La probabilité que la personne soit un homme : P (H)

Sachant que 39% de la population est composée de femmes on en déduit que : P(M) = 039.

Il est donc clair que : P (H) = 1 – 039 = 061. Le problème posé au début nous donne aussi les probabilités conditionnelles :

• Probabilité qu'une personne soit au chômage sachant qu'elle est une femme -> P (P | M) = 022
• Probabilité qu'une personne soit au chômage sachant qu'elle est un homme – P (P | H) = 014

En utilisant le loi de probabilité totale nous aurons :

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P(P) = 017

Le . On observe que le résultat est à mi-chemin entre les deux probabilités conditionnelles (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Découvrons le théorème de Bayes

Supposons maintenant qu’un adulte soit choisi au hasard pour remplir un formulaire et que l’on constate qu’il n’a pas d’emploi. Dans ce cas et compte tenu de l’exemple précédent, quelle est la probabilité que cette personne choisie au hasard soit une femme -P(M | P)- ?

Pour résoudre ce problème nous appliquerons le théorème de Bayes qui est utilisé pour calculer la probabilité d'un événement en ayant des informations à son sujet à l'avance . On peut calculer les probabilités d'un événement A sachant qu'il satisfait certaines caractéristiques (B).

Dans ce cas, nous parlons de la probabilité que la personne choisie au hasard pour remplir un formulaire soit une femme. Mais ça

La formule du théorème de Bayes

Comme tout autre théorème, nous avons besoin d’une formule.

Cela semble compliqué mais tout a une explication. Pensons en plusieurs parties. Que signifie chaque lettre ?

B est l'événementsur lequel nous disposons d'informations préliminaires.
• L la lettre A (n) fait référence aux différents événements conditionnés.
• Dans la partie numérateur, nous avons le probabilité conditionnelle . Cela fait référence à la probabilité que quelque chose (un événement A) se produise sachant qu'un autre événement (B) se produira également. Il est défini comme P (A | B) et s'exprime comme suit : La probabilité de A étant donné B .
• Au dénominateur nous avons l’équivalent de P (B) et suit la même explication que le point précédent.

Un exemple

Revenant à l'exemple précédent supposons qu'un adulte soit choisi au hasard pour remplir un questionnaire et que l'on observe qu'il est sans emploi . Quelles sont les chances que cette personne choisie soit une femme ?

Nous savons que 39 % de la population active est composée de femmes tandis que le reste est hommes . Nous savons également que le pourcentage de femmes au chômage est de 22 % et celui des hommes de 14 %.

Enfin on sait aussi que la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit au chômage est de 017. Si l'on applique la formule du théorème de Bayes le résultat que l'on obtiendra est qu'il y a une probabilité de 05 qu'une personne choisie au hasard parmi les chômeurs

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Le théorème de Bayes dérive de la conjonction des théorèmes de probabilité composite et absolue que nous avons expliqués au début. Sa principale caractéristique est qu’il fonctionne dans toutes les interprétations des probabilités.

Puisqu'il peut être utilisé pour calculer la probabilité d'une cause qui a déclenché l'événement son importance réside dans la manière dont il a historiquement affecté l'étude des statistiques . Aujourd'hui, en effet, on connaît deux écoles principales (l'une fréquentiste et l'autre bayésienne) qui s'opposent à partir de l'interprétation donnée à cette théorie.

On termine par une curiosité : saviez-vous que le spam électronique (celui du Internet publicités par email) est-ce que ça marche grâce au théorème de Bayes ?